ত্রিকোণমিতি ও দূরত্ব-উচ্চতা প্রশ্নব্যাংক ও সমাধান
বিগত বিসিএস ও চাকরির পরীক্ষার ৩৭৭টি প্রশ্ন নিয়ে স্টাডি ও অনুশীলন করুন
সমাধান :
আমরা জানি
sec2θ - tan2θ = 1
sec2θ = 1 + tan2θ
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
দেওয়া আছে, secΘ + tanΘ = x .....(i)
আমরা জানি, sec2Θ - tan2Θ = 1
⇒ (secΘ + tanΘ)(secΘ - tanΘ) = 1
⇒ x(secΘ - tanΘ) = 1 [(i) নং হতে ]
∴ (secΘ - tanΘ) = 1/x ..........(ii)
(i) -(ii) থেকে পাই,
secΘ + tanΘ - secΘ - tan∅= x - 1/x
2tanΘ = (x2 - 1)/x
∴tanΘ = (x2 - 1)/2x.
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
অর্থাৎ, ১ সেকেন্ডে ঘুরে ৩/২ বার
এখানে ১ বারে ঘুরে ৩৬০°
∴৩/২ বারে ঘুরে = (৩৬০° X ৩)/২ = ৫৪০°
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
cosθ = 0 when θ = 90° or, 270°
Maximum value of cosθ is 1 when θ = 0°, 360°.
Minimum value of cosθ is –1 when θ = 180°.
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
সমাধান:
চাকাটি ৬০ সেকেন্ডে ঘোরে = ১২ বার
∴ চাকাটি ১ সেকেন্ডে ঘোরে = ১২/৬০ বার
∴ চাকাটি ৫ সেকেন্ডে ঘোরে = (১২ × ৫)/৬০ বার
= ১ বার
অর্থাৎ চাকা বৃত্তের ব্যাস।
তাই চাকার পরিধির সমান ঘোরবে ১ বারে যা হবে ৩৬০°
∴ চাকাটি ৩৬০° ঘোরবে।
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
সমাধান:
tan3A = √3
বা, tan3A = tan60°
বা, 3A = 60°
A = 20°
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
সমাধান:
cos-1 x + cos-1 y = π/2
⇒ cos-1 y = (π/2) - cos-1 x
⇒ y = cos {(π/2) - cos-1 x}
⇒ y = cos(π/2) cos{(cos-1 x)} + sin(π/2) sin{(cos-1 x)}
⇒ y = sin{(sin-1√1 - x2)}
⇒ y = √1 - x2
⇒ y2 = 1 - x2
∴ x2 + y2 = 1
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
সমাধান:
sec2A - tan2A = 1
⇒ (secA + tanA) (secA - tanA) = 1
⇒ (secA + tanA) (5/2) = 1
∴ (secA + tanA) = 2/5
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
cosθ = 1/2
⇒ cosθ = cos60°
∴ θ = 60°
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
৬০ সেকেন্ডে ঘুরে ৯০ × ৩৬০
১ সেকেন্ডে ঘুরে = ৯০ × ৩৬০/৬০
১.৫ সেকেন্ডে ঘুরে = ৯০ × ৩৬০ × ১.৫/৬০ = ৮১০°
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
Sine 60° = লম্ব/অতিভুজ
√3/2 = 55/অতিভুজ
∴ অতিভুজ = (55 × 2)/√3
= 63.5 মিটার
= 127/2 মিটার
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
চাকাটি ৬০ সেকেন্ডে ঘুরে ৯০ বার
চাকাটি ১ সেকেন্ডে ঘুরে ৩/২ বার
১ বার ঘরলে চাকাটি ৩৬০° ঘুরে
∴ ৩/২ বার ঘুরলে চাকাটি ঘুরে ৩৬০°X(৩/২)= ৫৪০° ঘোরে
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
আমরা জানি,
1 + tan²θ = sec²θ
1 − sec²θ = -tan²θ
sec²θ − 1 = tan²θ
sec²θ − tan²θ = 1
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
আমরা জানি,
tan2θ = sec2θ - 1
এখন, tan2θ = (3/2)2 - 1 = (9/4) - 1 = 5/4
∴ tanθ = √5/2
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
ধরি, খুটিটি x মিটার উচুতে ভেঙ্গেছিল।
∴ অপর ভাঙ্গা অংশের দৈর্ঘ্য = (48 - x) মিটার
sinθ = x/(48-x)
sin30° = x/(48-x)
বা, ½ = x/(48-x)
∴ x = 16
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
∴ অপর ভাঙ্গা অংশের দৈর্ঘ্য = (54 - x) মিটার
sinθ = x/(54-x)
sin30° = x/(54-x)
বা, ½ = x/(54-x)
∴ x = 18
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
তাহলে, দণ্ডায়মান অংশের দৈর্ঘ্য = x/3 এবং, ভাঙ্গা অংশের দৈর্ঘ্য 2x/3
আমরা জানি, sinΘ = লম্ব/ অতিভুজ = (x/3)/(2x/3) = 1/2
বাঁ, sinΘ = sin 30°
∴ Θ = 30°
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
⇒cos2θ =¼(a+1/a)2
⇒2cos2θ = 2.¼(a2+2.a.1/a+1/a2)
⇒2cos2θ-1 = ½(a2+1/a2+2)-1
⇒cos2θ = ½(a2+1/a2) +1 - 1
∴⇒cos2θ = ½(a2+1/a2)
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
এখানে A = π/3 = 60° ও B = π/3 = 60°
সুতরাং sin(A+B) = sin(60°+60°) = sin120° = sin(180° - 60°) = sin60° = √3/2.
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
এখানে cosθ = 2/√5 ⇒ secθ = √5/2
আমরা জানি, sec²θ - tan²θ = 1
⇒ tan²θ = sec²θ - 1
⇒ tan²θ = (√5/2)² - 1
⇒ tan²θ = 5/4 - 1
⇒ tan²θ = 1/4
∴ tanθ = 1/2
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
2tanθ/(1 + tan2θ) = sin2θ = 2sinθcosθ
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
এখানে ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ।
∴ AC2 = AB2 + BC2
⇒AC2 = 402 +92
⇒AC2 = 1681
∴AC = 41
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
∴x + 2x + 3x = 180°
⇒6x = 180°
∴x = 30°
আমরা জানি, a/sin30° = b/sin60° = c/sin90°
⇒a/(½) = b/(√3/2) = c/1
⇒a:b:c = ½ : √3/2 : 1 = 1 : √3 : 2
∴বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম বাহুর অনুপাত = 2 : 1
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।