সমান্তর ও গুণোত্তর ধারা প্রশ্নব্যাংক ও সমাধান
বিগত বিসিএস ও চাকরির পরীক্ষার ৫৪৮টি প্রশ্ন নিয়ে স্টাডি ও অনুশীলন করুন
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
প্রথম পদ = ২
সাধারণ অন্তর = ৪
সুতরাং, ২০২ তম পদ = ২ + (২০২-১)*৪ = ৮০৬
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
প্রশ্ন: পরপর তিনটি সংখ্যার গুণফল ১২০ হলে তাদের যোগফল হবে -
সমাধান: 
এখানে,
১২০ = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৫
= ৪ × ৬ × ৫
সুতরাং,
সংখ্যা তিনটি ৪, ৫, ৬
এদের যোগফল, ৪ + ৫ + ৬
= ১৫
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
∴ প্রথম দশটি বিজোড় সংখ্যার যোগফল ১০2 = ১০০
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
১ থেকে ১০০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর যোগফল = ১০০ × (১০০ + ১)/২
= ১০০ × ১০১/২
= ৫০ × ১০০
= ৫০৫০
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
এটি IQ টাইপের প্রশ্ন।
তাই বিস্তারিত সমাধানে না গিয়ে সহজ সমাধানের দিকে যাইঃ
1 এবং 3 ধারায় থাকবে না, কারণ 5 থেকে ধরলে 15 হয় 6th সংখ্যা।
আর এই ধারার চতুর্থ সংখ্যা হবে 11.
Answer: 11
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
সমাধান:
০.১২ + ০.০০১২ + ০.০০০০১২ + ......
= ০.১২ + ০.১২×০.০১ + ০.১২×(০.০১)২ + ......
এখানে,
a = ০.১২, r = ০.০১ < ১
অসীম পদের সমষ্টি S∞ = a/(১ - r)
= ০.১২/(১ - ০.০১)
= ০.১২/০.৯৯
= ১২/৯৯
= ৪/৩৩
বিকল্প সমাধান:
n পদের সমষ্টি, s = {a × (১ - rn)}/(১ - r)
= ০.১২ × {১ - (০.০১)n}/(১ - ০.০১)
= ০.১২ × {১ - (১/১০০)n}/০.৯৯)
= (০.১২/০.৯৯) × {১ - (১/১০২)n}
= (১২/৯৯) × {১ - (১/১০২n)}
n অসীম হলে, s = (১২/৯৯) × {১ - (১/১০∞)}
= (৪/৩৩)(১ - ০)
= ৪/৩৩
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
ধরি, প্রথম সংখ্যাটি ক
∴ প্রথম পাঁচটি সংখ্যার সমষ্টি = (ক + ক+১ + ক+২ + ক+৩ + ক+৪) = ৫৬০
বা, ৫ক + ১০ = ৫৬০
∴ ক = ১১০
শেষ পাঁচটি সংখ্যার সমষ্টি = (ক+৫ + ক+৬ + ক+৭ + ক+৮ + ক+৯)
= ৫ক + ৩৫
= ৫×১১০ + ৩৫
= ৫৮৫
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
Here, Second term is = a + (2 - 1)d = 4
∴ a + d = 4 ...... (i)
and, Tenth term is = a + (10 - 1) = 15
∴ a + 9d = 15 ...... (ii)
Now, (i)×9 - (ii),
8a = 21
∴ a = 2.625 ≅ 2.63
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
সাধারণ অন্তর d = 9
দেয়া আছে,
৭ম পদ = 60
আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d
৭ম পদ = a + (7 - 1)d
60 = a + 6d
60 = a + 6 × 9
60 = a + 54
a = 60 - 54
a = 6
১২ তম পদ = a + (12 - 1)d
= 6 + 11 × 9
= 6 + 99
= 105
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
ধরি, সাধারণ অন্তর = d
সমান্তর ধারার n তম পদ = a + (n-1)d
ধারাটির ৪র্থ পদ = a + (n-1)d
⇒ - 5 + 3d = 16
⇒ 3d = 21
⇒ d = 21/3
ধারাটির দ্বিতীয় পদ, p = a + (n-1)d = -5 + (2-1)7 = -5 + 7 = 2
ধারাটির তৃতীয় পদ, q = a + (n-1)d =-5 + (3-1)7 = -5 + 2.7 = -5 + 14 = 9
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
= √(9 × 36 × 4)
= 3 × 6 × ২
= 36
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
সাধারণ অনুপাত, r = -1/1 = -1 < 1
আমরা জানি, r < 1 হলে,
n সংখ্যক পদের সমষ্টি = {a(1 - rn)/(1 - r)}
∴ n সংখ্যক পদের সমষ্টি = {a(1 - rn)} / (1 - r)
= {1 × (1 - (-1)n) / {1 -(-1)}
= {1 - (-1)n} / (1 + 1)
= {1 - (-1)n} / 2
= (1/2)[1-(-1)n]
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
১ম পদ = ৫
২য় পদ = ৫ +২ = ৭
৩য় পদ = ৭ + ৩ = ১০
৪র্থ পদ = ১০ + ৪ = ১৪
৫ম পদ = ১৪ + ৫ = ১৯
৬ষ্ঠ পদ = ১৯ + ৬ = ২৫
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
১ম পদ = ৩
২য় পদ = ৩ + ৫ = ৮
৩য় পদ = ৫ + ৮ = ১৩
৪র্থ পদ = ১৩ + ৮ = ২১
৫ম পদ = ২১ + ১৩ = ৩৪
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
ক্রমিক সংখ্যা 1 থেকে 8 পর্যন্ত।
শেষের 4টি প্রথম 4টির চেয়ে বেশি
= (8 + 7 + 6 + 5) - (4 + 3 + 2 + 1)
= 26 - 10
= 16
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
সমাধান:
প্রথম n সংখ্যক বিজোড় সংখ্যার যোগফল n2
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
Solution:
২য় বাউন্সের পরে উঠবে = (2/5) × 125
= 50
৩য় বাউন্সের পরে উঠবে =(2/5) × 50
= 20
৪র্থ বাউন্সের পরে উঠবে =(2/5) × 20
= 8
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
সমাধান:
১ম পদ = ৪
২য় পদ = ৪ + ৪ = ৮
৩য় পদ = ৮ + ৫ = ১৩
৪র্থ পদ = ১৩ + ৬ = ১৯
৫ম পদ = ১৯ + ৭ = ২৬
৬ষ্ঠ পদ = ২৬ + ৮ = ৩৪
৭ম পদ = ৩৪ + ৯ = ৪৩
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
সমাধান:
ধরি
সংখ্যা তিনটি ক, ক + ২, ক + ৪
প্রশ্নমতে,
ক + (ক + ২) + (ক + ৪) = ২১৯
৩ক + ৬ = ২১৯
৩ক = ২১৯ - ৬
৩ক = ২১৩
ক = ২১৩/৩
ক = ৭১
শেষ সংখ্যাটি = ৭১ + ৪ = ৭৫
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
সমাধান:
এখানে
প্রথম পদ, a = 1/√3
সাধারণ অনুপাত, r = - 1/(1/√3)
= - √3
আমরা জানি
n তম পদ = arn - 1
∴ পঞ্চম পদ = ar5 - 1
= (1/√3)(- √3)4
= (1/√3){(- √3)2}2
= 9/√3
= (3√3 × √3)/√3
= 3√3
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
সমাধান:
ধারার ১ম পদ a = ৫
সাধারণ অন্তর d =৮ - ৫ = ৩
ধারার n তম পদ = ৩৮৩
আমরা জানি, n তম পদ = a + (n - ১)d
প্রশ্নমতে,
৫ + (n - ১)৩ = ৩৮৩
⇒ ৫ + ৩n - ৩ = ৩৮৩
⇒৩n + ২ = ৩৮৩
⇒ ৩n = ৩৮৩ - ২
⇒ ৩n = ৩৮১
⇒ n = ১২৭
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
সমাধান:
১ম পদ = ১২২ = ১৪৪
২য় পদ = ৯২ = ৮১
৩য় পদ = ৬২ = ৩৬
৪র্থ পদ = ৩২ = ৯
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
সমাধান:
আমরা জানি,
কোন গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ a, সাধারণ অনুপাত q হলে n তম পদ = aqn-1
সুতরাং, দ্বিতীয় পদ = aq2-1= aq = - 48
∴ a = - 48/q ......... (i)
আবার পঞ্চম পদ= aq5-1= aq4 =(- 48/q)q4 [(i) এর মান বসিয়ে] = -48q3
প্রশ্নমতে,
- 48q3= 3/4
বা, q3= - 3/192
বা, q3= - 1/64
বা, q3= (- 1/4)3
∴ q = - 1/4
অর্থাৎ, সাধারণ অনুপাত = - 1/4.
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
সমাধান:
এখানে,
প্রথমপদ, a = 1/√2
সাধারণ অনুপাত, r = √2
ধরি,
r তম পদ হবে = 8√2
প্রশ্নমতে,
arn -1 = 8√2
বা, (1/√2) × (√2)n - 1 = 8√2
বা, (√2)n - 1 = 8√2 × √2
বা, (√2)n - 1 = (√2)6 × √2 × √2
বা, (√2)n - 1 = (√2)8
বা, n - 1 = 8
∴ n = 9
৯ তম পদ = 8√2
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
সমাধান:
আমরা জানি,
n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি = {n(n + 1)(2n + 1)}/6
১২ + ২২ + ৩২ + .................. + ৫০২ ={৫০(৫০ + ১)(২ × ৫০ + ১)}/৬
= (৫০ × ৫১ × ১০১)/৬
= ৪২৯২৫
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
সমাধান:
5 + 8 + 11 + 14 + ............................
এটি একটি সমান্তর ধারা,
যার প্রথম পদ, a = 5
সাধারণ অন্তর d = 8 - 5 = 3
ধরি,
ধারাটির n তম পদ 302
n তম পদ = a + (n - 1)d
⇒ 302 = 5 + (n - 1)3
⇒ 302 = 5 + 3n - 3
⇒ 3n + 2 = 302
⇒ 3n = 302 - 2
⇒ 3n = 300
⇒ n = 300/3
∴ n = 100
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
৩, ৯, ২৭, ৮১,...................।
সমাধান:
১ম পদ = ৩১ = ৩
২য় পদ = ৩২ = ৯
৩য় পদ = ৩৩ = ২৭
৪র্থ পদ = ৩৪ = ৮১
৫ম পদ = ৩৫ = ২৪৩
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
সমাধান:
এখানে,
ধারাটির প্রতিটি পদ তার পূর্বের দুটি পদের সমষ্টির সমান। অর্থাৎ, ধারাটি একটি ফিবোনাচ্চি ধারা।
১ম পদ = ১
২য় পদ = ১
৩য় পদ =১ + ১ = ২
৪র্থ পদ =২ + ১ = ৩
৫ম পদ =৩ + ২ = ৫
৬ষ্ঠ পদ =৫ + ৩ = ৮
৭ম পদ =৮ + ৫ = ১৩
৮ম পদ =১৩ + ৮ = ২১
৯ম পদ =২১ + ১৩ = ৩৪
১০ম পদ =৩৪ + ২১ = ৫৫
∴ ধারার ১০তম পদ = ৫৫
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।