সম্ভাবনা (Probability) প্রশ্নব্যাংক ও সমাধান
বিগত বিসিএস ও চাকরির পরীক্ষার ২০৭টি প্রশ্ন নিয়ে স্টাডি ও অনুশীলন করুন
সমাধান:
P(A) = 1/3, P(B) = 2/3
P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
= (1/3) × (2/3)
= 2/9
∴ P(B/A) = P(A ∩ B)/P(A)
= (2/9)/(1/3)
= 2/3
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
মোট বল রয়েছে = 2 + 3 + 2 = 7 টি
নীল বাদে বল আছে = 7 - 2 = 5 টি
∴ বলটি নীল না হবার সম্ভাবনা = 5c2/7c2
(5 × 4)/(7 × 6)
= 10/21
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
10 থেকে 100 পর্যন্ত 5 এর গুণিতক সংখ্যাগুলো হলোঃ
10, 15, 20, 25, 30 ,35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95 এবং 100 = 19টি ।
এখন, 10 থেকে 100 পর্যন্ত 9 এর গুণিতক সংখ্যাগুলো হলোঃ
18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90 এবং 99 = 10 টি
10 থেকে 100 পর্যন্ত মোট সংখ্যা আছে = 100 - 10 + 1 = 91টি ।
এর মধ্যে, 45 এবং 90 দুইটা দুই জায়গাতেই আছে তাই একবার কাউন্ট হবে।
∴ নির্ণেয় সম্ভাব্যতা = (19+10-2)/91
= 27/91
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
১ টি মুদ্রাকে দুইবার নিক্ষেপ করলে প্রথম বার হেড আসার সম্ভাবনা ১/২
দ্বিতীয়বার হেড আসার সম্ভাবনা = ১/২
∴ উভয়ক্ষেত্রে হেড পাওয়ার সম্ভাবনা = ১/২ × ১/২ = ১/৪
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
দুটি একইরকম মুদ্রা ছুড়ে মারা হলে নমুনাক্ষেত্রটি হবে = HH, HT, TH, TT
হেড এবং টেল আসার সম্ভাবনা = 2/4 = 1/2
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
Given, Green marbles = 2
Red marbles = 2
Total marbles = 2 + 2 = 4
Probability of randomly picked marbles that both of them are green = 2C2 / 4C2 = 1/6
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
One spade can be drawn in 13C1 ways and a heart too can be drawn in 13C1 ways.
Therefore, the number of ways that a spade and a heart can be drawn = 13C1 x 13C1 = 13 x 13 = 169
Therefore, the required probability = 169/52C2 = 169/1326 = 13/102
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
= 10/35
= 2/7.
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
P(at least one graduate) = 1 − P(no graduates)
= 1 − 6C3/10C3
= 1 − 6×5×4/10×9×8
= 1 − 1/6
= 5/6
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
Out of them, there are 18 outcomes viz
(1,2), (1,4), (1,6), (2,1), (2,3), (2,5), (3,2), (3,4), (3,6), (4 ,1), (4,3), (4,5), (5,2), (5,4), (5,6), (6,1), (6,3), (6,5)
for which the sum of the values on them is odd.
Hence, the required probability is 18/36 = 1/2
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
Solution:
Let S be the sample space.
Then, n(S)
= number of ways of drawing 3 balls out of 15
= 15C3 = 455
Let E = event of getting all the 3 red balls.
n(E) = 5C3 = 10
P(E) = n(E)/n(S) = 10/455 = 2/91
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
= P(A) + P(B) - P(A).P(B) [যেহেতু A ও B স্বাধীন]
= (1/3 + 3/4) - (1/3 × 3/4)
= 1/3 + 3/4 - 1/4
= (4 + 9 - 3)/12
= 10/12
= 5/6
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
Solution:
এখানে, মোট মার্বেল সংখ্যা = 12
12টি মার্বেল নির্বাচন করার মোট উপায় = 12 + 4 - 1C4 - 1 = 15C3 = 455
আবার,
প্রত্যেক রঙের কমপক্ষে 1টি মার্বেল নির্বাচনের উপায় = 12 - 1C4 - 1
= 11C3
= 165
∴ নির্ণেয় সম্ভাব্যতা = 165/45
= 33/91
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
সমাধান:
29 থেকে 38 পর্যন্ত সংখ্যা= 10টি
29 থেকে 38 পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = 29, 31, 37 = 3টি
মৌলিক হওয়ার সম্ভাবনা =3/10
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
সমাধান:
2015 সালের জুলাই মাসের ২য় সপ্তাহে মোট 7 দিন।
যার মধ্যে বৃষ্টি হয়েছিল 5 দিন।
বুধবার বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা = 5/7
বুধবার বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা = (1 - 5/7)
=(7 - 5)/7
= 2/7
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
Question: In a simultaneous throw of a pair of dice, what is the probability of getting a total more than 8?
Solution:
The total number of possible outcomes for the pair of dice is the product of the outcomes for each die is-
= 6 × 6 = 36
And,
The favorable outcomes are the combinations where the sum of the two dice is more than 8. These sums can be 9, 10, 11, or 12. The combinations for each sum are-
Sum of 9: (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3) - 4 outcomes
Sum of 10: (4, 6), (5, 5), (6, 4) - 3 outcomes
Sum of 11: (5, 6), (6, 5) - 2 outcomes
Sum of 12: (6, 6) - 1 outcome
∴ The total number of favorable outcomes is the sum of these outcomes = 4 + 3 + 2 + 1 = 10
∴ P(sum > 8) = Favorable Outcomes/Total Outcomes = 10/36 = 5/18
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
প্রশ্নমতে,
২/৫ অংশ = ৪০
১ বা সম্পূর্ণ অংশ = ৫৪০/২ = ১০০ টি
শতকরা ৮১% আম ক্রুটিমুক্ত পেতে হলে অবশিষ্ট আমের মধ্যে ৮১-৩৬= ৪৫ টি ক্রুটিমুক্ত আম পেতে হবে।
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
উভয়ক্ষেত্রে হেড পাওয়ার সম্ভাবনা = কাঙ্ক্ষিত ফলাফল/ মোট ফলাফল
= ১/৪
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
যেকোন একটি হেড পাওয়ার সম্ভাবনা = কাঙ্ক্ষিত ফলাফল/ মোট ফলাফল
= ২/৪ = ১/২
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
একটি মুদ্রায় দুটো পিঠ (H,T) এবং ছক্কায় ছয়টি পিঠ (1,2,3,4,5,6)।
তাই মোট নমুনা বিন্দু 2 X 6 = 12টি।
এগুলো হলঃ {(1,H), (1,T), (2,H), (2,T), (3,H), (3,T), (4,H), (4,T), ;(5,H), (5,T), (6,H), (6,T)}
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
দুটি মুদ্রা একসাথে নিক্ষেপ করলে নমুনা হবে=HH, HT, TH, TT
তাহলে তিনটি হেড আসার সম্ভাবনা = ১/৪
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
২ টি নীল মার্বেল টানার সম্ভাবনা = (১০/২৫)x(৯/২৪) = ৩/২০
২টি লাল মার্বেল টানার সম্ভাবনা = (১৫/২৫)X(১৪/২৪) = ৭/২০ ∴মোট সম্ভাবনা = ৩/২০+৭/২০ = ১০/২০ =১/২
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
সুতরাং সম্ভাবনা = ৪/৬ = ২/৩
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
সুতরাং সম্ভাবনা = ৪/৬ = ২/৩
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
∴ উত্তোলিত তাসটি টেক্কা হওয়ার সম্ভাবনা = 4/52 = 1/13
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
Total number of balls
= (8 + 7 + 6)
= 21
Let E = event that the ball drawn is neither red nor green
= event that the ball drawn is blue
∴ n(E) = 7
∴ P(E) = n(E) / n(S)
= 7/21
= 1/3
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
1,2,3 অংকগুলো দ্বারা গঠিত সংখ্যাগুলো হলোঃ 123, 132, 213, 231, 312, 321 (6টি)
এখন এর মধ্যে 111 দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা একটিও নেই।
Probability = 0/6 = 0
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।