স্থানাঙ্ক জ্যামিতি প্রশ্নব্যাংক ও সমাধান
বিগত বিসিএস ও চাকরির পরীক্ষার ১৭৫টি প্রশ্ন নিয়ে স্টাডি ও অনুশীলন করুন
সমাধান:
বৃত্তের সমীকরণের বৈশিষ্ট্য:
(i) x, y এর সর্বোচ্চ ঘাত 2।
(ii) x2 ও y2 এর সহগ সমান।
(iii) xy সম্বলিত পদ না থাকা।
∴ বৃত্তের সমীকরণের বৈশিষ্ট্য অনুযায়ী x2 + y2 = 5 বৃত্তের সমীকরণ
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
Solution:
দেওয়া আছে,
A(1, 0)
B(5, 0)
C(3, 4)
AB = √{(1 - 5)2 + (0 - 0)2} = √16 = 4
AC = √{(1 - 3)2 + (0 - 4)2} = √20 = 2√5
BC = √{(5 - 3)2 + (0 - 4)2} = √20 = 2√5
so,
AC = BC
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
প্রশ্ন: (0, 0) এবং (3, 3) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ কোনটি?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
(x1, y1) = (0, 0) এবং (x2, y2) = (3, 3)
আমরা জানি,
দুটি বিন্দু (x1, y1) এবং (x2, y2) দিয়ে গঠিত সরলরেখার ঢাল,
m = (y2 - y1)/(x2 - x1)
= (3 - 0)/(3 - 0)
= 3/3
∴ m = 1
আমরা জানি,
সরলরেখার সমীকরণ,
y - y1 = m(x - x1)
⇒ y - 0 = 1 (x - 0) ; [(x1, y1) = (0, 0) এবং m = 1 বসিয়ে]
∴ y = x
অতএব, (0, 0) এবং (3, 3) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ হলো y = x বা x - y = 0
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
আমরা জানি, মূলবিন্দুগামী রেখার সমীকরণ y = mx
এখানে, ঢাল m = 3
y = 3x............(i)
এখন (6, y) বিন্দুর জন্য (i) নং হতে পাই,
y = 3x
∴ y = 3 × 6 = 18 [∵ ভূজ = 6]
আবার, (x, 12) বিন্দুর জন্য (i) নং হতে পাই,
y = 3x
⇒ 12 = 3x [∵ কোটি = 12]
∴ x = 12/3 = 4
অতএব, y - x = 18 - 4 = 14
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
সমাধান:
উৎস: উচ্চ মাধ্যমিক এর গণিত বই, উন্মুক্ত বিশ্ববিদ্যালয়।
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
- সুন্দরবন বাংলাদেশের দক্ষিণ অংশে গঙ্গা ও ব্রহ্মপুত্রের বদ্বীপ এলাকায় অবস্থিত পৃথিবীর বৃহত্তম জোয়ারধৌত গরান বনভূমি (mangrove forest)।
- কর্কটক্রান্তির সামান্য দক্ষিণে ভারত ও বাংলাদেশের উপকূল ধরে বিস্তৃত ২১°৩০´-২২°৩০´ উত্তর অক্ষাংশ এবং ৮৯°০০´-৮৯°৫৫´ পূর্ব দ্রাঘিমার মধ্যবর্তী স্থানে এ বনের অবস্থান।
- বাংলাদেশ অংশের সুন্দরবনের মোট আয়তন প্রায় ৬,০১৭ বর্গ কিলোমিটার যা সুন্দরবনের মোট আয়তনের প্রায় ৬২ ভাগ।
- নানা ধরনের গাছপালার চমৎকার সমারোহ ও বিন্যাস এবং বন্যপ্রাণীর অনন্য সমাবেশ এ বনভূমিকে চিহ্নিত করেছে এক অপরূপ প্রাকৃতিক নিদর্শন হিসেবে।
- অর্থনৈতিক কর্মকান্ডের একটি উলেখযোগ্য কেন্দ্র হিসেবেও এটি বিবেচিত; এখান থেকে সংগৃহীত হয় নানা কাজে ব্যবহার উপযোগী বনবৃক্ষ, আহরিত হয় প্রচুর পরিমাণ মধু, মোম ও মাছ।
- সাতক্ষীরা, খুলনা এবং বাগেরহাট জেলার অংশবিশেষ জুড়ে বাংলাদেশের সুন্দরবন বিস্তৃত।
- পরস্পর সংযুক্ত প্রায় ৪০০ নদী-নালা, খালসহ প্রায় ২০০টি ছোট বড় দ্বীপ ছড়িয়ে আছে সুন্দরবনে।
তথ্যসূত্র - বাংলাপিডিয়া।
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
- প্রথম শিল্প বিপ্লব সংঘটন কাল: ১৭৬০-১৮৪০ সাল।
- ১৭৬০ সাল থেকে ইউরোপের দেশ ইংল্যান্ডে প্রথম শিল্প বিপ্লব শুরু হয়।
- তাই ইংল্যান্ডকে শিল্প বিপ্লবের জন্মস্থান বলা হয়।
- ইংল্যান্ডে শুরু হলেও খুব দ্রুতই ইউরোপের অন্যান্য দেশ বেলজিয়াম, ফ্রান্স, জার্মানি, রাশিয়াসহ অন্যান্য দেশে তা ছড়িয়ে পড়ে।
- ইউরোপের পাশাপাশি ১৭৯০ সালে যুক্তরাষ্ট্রে শিল্প বিপ্লবের ছোঁয়া লাগে।
- শিল্প বিপ্লবের ফলে পণ্য উৎপাদন, বাজারজাতকরণ, অর্থনৈতিক ব্যবস্থা খুব দ্রুত পরিবর্তত হতে থাকে।
- এই সময় বিভিন্ন ইঞ্জিন, যন্ত্রপাতি ও তত্ত্ব আবিষ্কার হতে থাকে।
- ফলে বিশ্বের ইতিহাসও খুব দ্রুত পরিবর্তন হতে থাকে।
উৎস: Britannica.
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
যথা- O, A, B এবং AB ।
রক্তের গ্রুপ:
- লোহিত রক্ত কণিকার প্লাজমা মেমব্রেনে অবস্থিত বিভিন্ন অ্যান্টিজেনের উপস্থিতির ভিত্তিতে রক্তের শ্রেণীবিন্যাসকে 'রক্ত গ্রুপ' বলে।
- রক্ত কণিকায় অ্যান্টিজেনের উপস্থিত ও অনুপস্থিতির উপর নির্ভর করে রক্তের যে শ্রেণীবিন্যাস, তা ব্লাড গ্রুপ নামে পরিচিত।
- মানুষের রক্তে A ও B এ দু'ধরনের অ্যান্টিজেন থাকতে পারে।
O রক্তের গ্রুপ:
- O গ্রুপের রক্তের কণিকা ঝিল্লিতে কোন অ্যান্টিজেন নাই।
- O রক্তের গ্রুপের লোকেরা সাধারণত সর্বজনীন রক্ত দাতা হিসাবে পরিচিত এবং শুধুমাত্র O রক্তের গ্রুপ থেকে রক্ত গ্রহণ করতে পারে।
AB রক্তের গ্রুপ:
- AB রক্তের গ্রুপে A ও B দুটি অ্যান্টিজেন থাকে।
- AB রক্তের গ্রুপকে সর্বজনীন গ্রহীতা বলা হয় কারণ সব গ্রুপের রক্ত এটি গ্রহণ করতে পারে এবং শুধুমাত্র AB রক্তের গ্রুপের ব্যক্তিদের রক্ত দান করতে পারে।
A রক্তের গ্রুপ:
- A রক্তের গ্রুপে A অ্যান্টিজেন থাকে।
- A রক্তের গ্রুপের ব্যক্তি শুধুমাত্র A এবং O রক্তের গ্রুপ থেকে রক্ত গ্রহণ করতে পারে এবং টাইপ A এবং AB ব্যক্তিদের দান করতে পারে।
B রক্তের গ্রুপ:
- B রক্তের গ্রুপে B অ্যান্টিজেন থাকে।
- B রক্তের গ্রুপের ব্যক্তি শুধুমাত্র B এবং O রক্তের গ্রুপ থেকে রক্ত গ্রহণ করতে পারে এবং B এবং AB গ্রুপের ব্যক্তিদের রক্ত দান করতে পারে।
উৎস: প্রাণিবিজ্ঞান, এইচএসসি প্রোগাম, বাংলাদেশ উন্মুক্ত বিশ্ববিদ্যালয়।
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
উত্তর:
x + y = 0 এবং 2x – y + 6 = 0 সমীকরন দুটি যোগ করে পাই,
⇒ 3x + 6 = 0
⇒ 3x = -6
⇒ x = -2
x- এর মান ১ম সমীকরনে বসিয়ে পাই,-2 + y = 0
∴ y = 2
সরলরেখা দুটি (- 2, 2) বিন্দুতে ছেদ করে।
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
সমাধান:
x/y = 1/2
2x =y
y = 2x
যা y = mx এর অনুরূপ
মূলবিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ y = mx
x/y = 1/2 মূলবিন্দুগামী সরলরেখা।
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
সমাধান:
x + y - 1 = 0
⇒ y = - x + 1
∴ সমীকরণটির ঢাল = -1
আবার,
x - y + 1 = 0
⇒ y = x + 1
∴ সমীকরণটির ঢাল = 1
এখন,
ঢালদ্বয়ের গুণফল = -1, তাই সমীকরণদ্বয় পরস্পর লম্ব।
∴ ত্রিভুজটি সমকোণী।
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
সমাধান:
দেওয়া আছে
x + y = 0 ......................(1)
2x - y + 3 = 0..................(2)
(1) এবং (2) সমীকরণ দুটি যোগ করে পাই,
x + y + 2x - y + 3 = 0
⇒ 3x + 3 = 0
⇒ 3x = - 3
⇒ x = - 1
x- এর মান (1) সমীকরণে বসিয়ে পাই,
- 1 + y = 0
∴ y = 1
সরলরেখা দুটি (- 1, 1) বিন্দুতে ছেদ করে।
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
সমাধান:
ভারসাম্য রক্ষা করতে হলে উভয় পাশে ভর ও দৈর্ঘ্যের গুণফল সমান হতে হবে।
ধরি,
AC অংশের দৈর্ঘ্য, l1
BC অংশের দৈর্ঘ্য, l2
AC অংশের ভর, m1
BC অংশের ভর, m2
এখন
∴ l1 × m1 = l2 × m2
⇒ 6 × 6 = l2 × 4
⇒ 4l2 = 36
⇒ l2 = 36/4
∴ l2 = 9
∴ BC এর মান 9 মিটার
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
Question: Find an equation of the horizontal line containing the point (3, 2).
Solution:
The equation of the horizontal line containing the point (3, 2) is y = 2.
A horizontal line has a constant y-value for all points on the line.
Since the line must pass through the point (3, 2), its y-coordinate must be 2.
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
Question: The slope of a line perpendicular to one with slope 2 is-
Solution:
দেওয়া আছে,
প্রথম রেখের ঢাল, m1 = 2
আমরা জানি,
যদি দুটি রেখা পরস্পর লম্ব হলে তাদের ঢালের গুণফল - 1 হয়।
অর্থাৎ,
m1⋅m2 = - 1
⇒ 2⋅m2 = - 1
∴ m2 = - 1/2
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
Question: What is the slope of a line perpendicular to the line whose equation is 20x - 2y = 6?
Solution:
দেওয়া আছে,
20x - 2y = 6
⇒ - 2y = - 20x + 6
⇒ y = {(- 20)/(- 2)}x + 6/(- 2)
⇒ y = 10x - 3
এখানে, প্রদত্ত রেখার ঢাল, m1= 10
আমরা জানি, দুটি রেখা পরস্পর লম্ব (Perpendicular) হলে তাদের ঢালদ্বয়ের গুণফল -1 হয়।
ধরি, লম্ব রেখার ঢাল m2
অর্থাৎ, m1 × m2 = -1
তাহলে,
10 × m2 = -1
⇒ m2= -1/10
∴m2 = (-1/10)
∴ লম্ব রেখার ঢাল (-1/10)।
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
সমীকরণ দুইটি সমাধান করে পাই (x,y) = (2,3)
সুতরাং রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু = (2,3)
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
a,b কেন্দ্রবিশিষ্ট r ব্যাসার্ধের বৃত্তের সমীকরণ = (x-a)2+(y-b)2 = r2
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
⇒x2 + y2 = 169
⇒x2 + y2 = 132
অর্থাৎ, বৃত্তটির ব্যাসার্ধ 13 একক।
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
⇒x2 + y2 = 289
⇒x2 + y2 = 172
অর্থাৎ, বৃত্তটির ব্যাসার্ধ 17 একক।
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
এখানে, (-3, 4) বিন্দুটি ২য় চতুর্ভাগে অবস্থিত।
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
⇒ (x - 0)2 + (y - 0)2 = 42
যার কেন্দ্র (0,0) এবং ব্যসার্ধ 4; এটাই বৃত্তের সমীকরণ।
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
∴ OP = √(x2 + y2)
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।
⇒-x - 3 = x + 3
⇒2x = - 6
∴x = - 3
∴y = - 3 + 3 = -0
পরামর্শ: লগইন বা ক্রেডিট খরচ ছাড়াই তাৎক্ষণিক পূর্ণ ব্যাখ্যার জন্য Google AI বা Perplexity বেছে নিন।